Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D為AC的中點(diǎn)，AB⊥PD．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)PO、OD，得到PO⊥AB，再利用AB⊥PD，根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理證明AB⊥平面POD，從而得到AB垂直平面POD內(nèi)的線(xiàn)OD，再利用OD為中位線(xiàn)，得出OD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定證明平面PAB垂直平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OB、OD、OP兩兩垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答： （1）證明：取AB中點(diǎn)為O，連結(jié)OD、OP，
∵PA=PB，∴AB⊥OP，
又AB⊥PD，OP∩PD=P，
∴AB⊥平面POD，
∵OD?平面POD，∴AB⊥OD，
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，∴OD⊥PB，
∵AB∩PB=B，∴OD⊥平面PAB，
又OD?平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OB、OD、OP兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B為x軸，OD為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OB=1，則B（1，0，0），P（0，0，

3

），D（0，1，0），C（1，2，0），
則

BD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，1，-

3

)，

DC

=(1，1，0)，
設(shè)

m

=（x，y，z），是平面PDB的法向量，
則

m • BD =-x+y=0 m • PD =y- 3 z=0

，取z=1，得

m

=(

3

，

3

，1)，
設(shè)平面PDC的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
則

n • PD =x1- 3 z1=0 n • DC =x1+y1=0

，取x1 =

3

，得

n

=(

3

，-

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

3-3+1

7 • 7

=

1

7

，
由圖形知二面角B-PD-C是鈍二面角，
∴二面角B-PD-C的余弦值為-

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題以三棱錐為向何背景的考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、平行的判定，考查線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力和計(jì)算能力．