已知α,β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的兩個實(shí)數(shù)根,函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閇α,β].
(1)判斷f(x)在[α,β]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)g(t)=maxf(x)-minf(x),求函數(shù)g(t)的最小值

(1)f(x)在[α,β]上為增函數(shù)
∵f(x)=,∴f′(x)=,
∵當(dāng)x∈(α,β)時,4x2-4tx-1<0,
∴當(dāng)x∈(α,β)時,-2x2+2tx+>0,
∴當(dāng)x∈(α,β)時,-2x2+2tx+2>0,
∴f′(x)>0,∴f(x)在[α,β]上單增.
(2)由題意及(1)可知,f(x)max=f(β),f(x)min=f(α),
∴g(t)=f(β)-f(α)=-

∵α+β=t,αβ=-,∴β-α==,
α2+β2=(α+β)2-2αβ=t2+,
∴g(t)=,t∈R,
令=U,則t2=U2-1,U∈[1,+∞),
∴g(t)==,
∵′=>0,
∴在[1,+∞)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)U=1,t=0時,g(t)min=.

解析

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相關(guān)習(xí)題

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(本題滿分12分)
已知奇函數(shù)在定義域上是減函數(shù),滿足f(1-a)+f(1-2a)〈0,求 的取值范圍。

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已知
(1)求的單調(diào)區(qū)間
(2)已知的兩個不同的極值點(diǎn),且,若恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍

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(本小題滿分12分)
二次函數(shù)
(1)求的解析式;
(2)在區(qū)間上,的圖象上方,求實(shí)數(shù)m的范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求函數(shù)f(x)的最小值

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已知f滿足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,求f(72)的值.

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(本小題滿分8分)試證明函數(shù)上為增函數(shù).

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已知,若能表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在區(qū)間上都是減函數(shù),求的取值范圍.

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(12分)已知

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