Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是棱BC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC₁上，已知AB=AC，AA₁=3，BC=CF=2
（1）求證：C₁E∥平面ADF；
（2）若點(diǎn)M在棱BB₁上且BM=1，求證：平面ACM⊥平面ADF．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AD、CE并相交于O點(diǎn)，連接OF，則OF為平面CEC1與平面ADF的相交線，由已知條件推導(dǎo)出OF∥C₁E，由此能證明C₁E∥平面ADF．
（2）平面BCC₁B₁∩平面ADF=DF，平面BCC₁B₁∩平面ACM=CM，由已知條件推志導(dǎo)△CBM≌△FCD，從而得到DF⊥CM，由此能證明平面ACM⊥平面ADF．

解答： （1）證明：連接AD、CE并相交于O點(diǎn)，
連接OF，則OF為平面CEC1與平面ADF的相交線，
在△ABC中，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)
則O點(diǎn)為△ABC的重心，即 OC=2OE

OC

CE

=

3

2

，
又CC₁=AA₁=3，CF=2，

CF

CC1

=

2

3

，
在△ECC₁、△COF中，

CF

CC1

=

OC

CE

，
∴OF∥C₁E，
∵OF?平面ADF，C₁E不包含于平面ADF，
∴C₁E∥平面ADF．
（2）∵平面BCC₁B₁∩平面ADF=DF，
平面BCC₁B₁∩平面ACM=CM，
∵BC=CF=2，D是棱BC的中點(diǎn)，BM=1，
∠CBM=∠FCD=90°，
∴△CBM≌△FCD，∴∠BCM=∠CFD，
∴DF⊥CM，
∴平面ACM⊥平面ADF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．