Question

奇函數(shù)f（x）在[-2，2]是增函數(shù)，且f（-2）=-1，若函數(shù)f（x）≤t²-2at-1對(duì)所有的x∈[-2，2]，a∈[-1，1]都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍（　　）

• A、-1≤t≤1
• B、-2≤t≤2
• C、t≤-2或t≥2
• D、t≤-2或t=0或t≥2

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，由f（x）的奇偶性與單調(diào)性分析可得f（x）在[-2，2]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，變形可得t²-2at≥0對(duì)于a∈[-1，1]恒成立，因其在a∈[-1，1]時(shí)恒成立，可以改變自變量，以a為變量，利用一次函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解；綜合可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)且f（-2）=-1，則f（2）=1，
又由f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，則f（x）在[-2，2]上的最大值為f（2）=1，
當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有的x∈[-1，1]恒成立，
則有1≤t²-2at+1對(duì)于a∈[-1，1]恒成立，即t²-2at≥0對(duì)于a∈[-1，1]恒成立，
當(dāng)t=0時(shí)顯然t²-2at≥0對(duì)于a∈[-1，1]恒成立；
當(dāng)t≠0時(shí)，
令g（a）=-2at+t²，a∈[-1，1]，
當(dāng)t＞0時(shí)，g（a）是減函數(shù)，故令g（1）≥0，解得t≥2；
當(dāng)t＜0時(shí)，g（a）是增函數(shù)，故令g（-1）≥0，解得t≤-2；
綜上知，t≥2或t≤-2或t=0；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，涉及函數(shù)恒成立問題；難點(diǎn)在于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值．