【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足,且,正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足,其前7項(xiàng)和為42.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意正整數(shù),都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)將數(shù)列的項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí),放在前面;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),放在前面”的要求進(jìn)行排列,得到一個(gè)新的數(shù)列:,求這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1);(2);(3),
【解析】
試題分析:(1)由已知得數(shù)列是等差數(shù)列,從而易得的通項(xiàng)公式,求得,利用求得,再求得可得數(shù)列通項(xiàng),利用已知可得,又得是等差數(shù)列,由等差數(shù)列的基本量法可求得;(2)代入得,變形后得,從而易求得和,于是有,只要求得的最大值即可得的最小值,從而得的范圍,研究的單調(diào)性可得;(3)根據(jù)新數(shù)列的構(gòu)造方法,在求新數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí),對(duì)分類(lèi):,和()三類(lèi),可求解.
試題解析:(1)∵,∴數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,
∴,即,
∴,
又,∴.............................3分
∵,∴,又,∴,∴數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為,設(shè)的前項(xiàng)和為,
∵,∴,∴...................5分
(2)由(1)知,
∴
,
∴.......................7分
設(shè),則,
∴數(shù)列為遞增數(shù)列,.........................9分
∴,
∵對(duì)任意正整數(shù),都有恒成立,∴..........................10分
(3)數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列的前項(xiàng)和,
①當(dāng)時(shí),;
②當(dāng)時(shí),,
特別地,當(dāng)時(shí),也符合上式;
③當(dāng)時(shí),.
綜上:,...................................16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
某園藝公司種植了一批名貴樹(shù)苗,為了解樹(shù)苗的生長(zhǎng)情況,從這批樹(shù)苗中隨機(jī)地測(cè)量了棵樹(shù)苗的高度(單位:厘米),并把這些高度列成如下的頻數(shù)分布表:
組別 | ||||||
頻數(shù) | 2 | 4 | 11 | 16 | 13 | 4 |
(Ⅰ)在這批樹(shù)苗中任取一棵,其高度在厘米以上的概率大約是多少?這批樹(shù)苗的平均高度大約是多少?
(Ⅱ)為了進(jìn)一步獲得研究資料,標(biāo)記組中的樹(shù)苗為,組中的樹(shù)苗為,現(xiàn)從組中移出一棵樹(shù)苗,從組中移出兩棵樹(shù)苗進(jìn)行試驗(yàn)研究,則組的樹(shù)苗和組的樹(shù)苗同時(shí)被移出的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、B分別是橢圓的左、右端點(diǎn),F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.
(1)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線(xiàn)AP的距離等于MB,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A(yíng),B兩點(diǎn),且|AB|=2 .
(1)求直線(xiàn)l方程;
(2)設(shè)Q(x0 , y0)為圓M上的點(diǎn),求x02+y02的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度.已知直線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】底面是正方形的四棱錐中中,側(cè)面底面,且是等腰直角三角形,其中,分別為線(xiàn)段的中點(diǎn),問(wèn)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正三棱柱中,,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且.
(1)求證: ∥平面;
(2)求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)關(guān)于的不等式在恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根, ,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)事件表示“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”.
(1)若、,求事件發(fā)生的概率;
(2)若、,求事件發(fā)生的概率.
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