Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin(2x+

π

6

)-

1

2

cos(2x+

π

6

)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f(

x

2

)，x＞0且函數(shù)g（x）的圖象與直線y=

3

2

交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂，x₃，…，x_n，求數(shù)列{x_n}的前100項和．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角差的正弦公式可得f（x）=sin2x，進而利用正弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)區(qū)間即可得出．
（2）由sinx=

3

2

（x＞0）得x=2kπ+

π

3

或x=2kπ+

2π

3

（k∈N）．取k=1，2，…，50．求其和即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin(2x+

π

6

-

π

6

)=sin2x．
∴T=

2π

2

=π，
由

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z），
解得

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ(k∈Z)．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ++

π

4

，kπ+

3π

4

](k∈Z)．
（2）g(x)=f(

x

2

)=sinx，
由sinx=

3

2

（x＞0）得x=2kπ+

π

3

或x=2kπ+

2π

3

（k∈N）．
∴數(shù)列{x_n}的前100項和=

π

3

×50+2π(1+2+…+50)+

2π

3

×50+2π(1+2+…+50)
=50π+5100π．

點評：熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩角和的正弦公式等是解題的關(guān)鍵．