【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，，且，證明：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）知當且僅當時，存在兩個極值點，同時用韋達定理寫出這兩個極值點的關(guān)系.化簡，并利用導(dǎo)數(shù)求得上式表達式的單調(diào)區(qū)間以及最值，由此證得不等式成立.

（1）解：的定義域為，.

①當時，對恒成立，則在上單調(diào)遞增；

②當時，令，得，.

（�。┊�時，，

當時，；當時，.

所以在，上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（ⅱ）當時，，

當時，；當時，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）證明：由（1）知當且僅當時，存在兩個極值點.

因為的兩個極值點，滿足，所以，

又，則.

，

令，，則 .

因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞減.

因為，所以，

從而.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，

（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；

（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6，若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.

（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當取最小值時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某次考試后，對全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進行整理，得到表：

分數(shù)段

人數(shù)

5

15

20

10

將以上數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后，可估計出本次考試成績的中位數(shù)是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直棱柱中， ∥，

.

(1)證明：直線平面；

(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知標準方程下的橢圓的焦點在軸上，且經(jīng)過點，它的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合．橢圓的上頂點為，過點的直線交橢圓于兩點，連接、，記直線的斜率分別為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足， ，記的前項和為，求證： .

【答案】（I）；（II）；（III）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）當時，因為，所以顯然不成立，先證明因此時， 在上恒成立，再證明當時不滿足題意，從而可得結(jié)果；（III）先求出等差數(shù)列的前項和為，結(jié)合（II）可得，各式相加即可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .

（Ⅱ）由得，

當時，因為，所以顯然不成立，因此.

令，則，令，得.

當時， ， ，∴，所以，即有.

因此時， 在上恒成立.

②當時， ， 在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴，不滿足題意.

綜上，不等式在上恒成立時，實數(shù)的取值范圍是.

（III）證明：由知數(shù)列是的等差數(shù)列，所以

所以

由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

所以. 將以上各式左右兩邊分別相加，得

.因為

所以

所以.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知直線， (為參數(shù)， 為傾斜角).以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的直角坐標方程為.

（Ⅰ）將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程；

（Ⅱ）設(shè)點的直角坐標為，直線與曲線的交點為、，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題：

①“”是“”的充要條件

②“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；

③“”是“”的充分不必要條件

④“”是“”的必要不充分條件，

其中真命題的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)當a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－ (a∈Z)成立，求a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計，樣本分布被制作成如下圖表：

（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人？

（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；

（3）據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼，標準如下：

①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼200元；

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元；

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.

利用樣本估計總體，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.（單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

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