Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（

2

，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l₁，l₂交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l₁，l₂的方程并證明l₁⊥l₂；
（ⅱ）求證：線段MN的長為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其b=

a2-c2

即可得出；
（Ⅱ）（i）把直線方程代入橢圓方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用直線與橢圓相切?△=0，即可解得k的值，進(jìn)而利用垂直與斜率的關(guān)系即可證明；
（ii）分類討論：l₁，l₂經(jīng)過點(diǎn)P（x₀，y₀），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，無論兩條直線中的斜率是否存在，都有l(wèi)₁，l₂垂直．即可得出線段MN為準(zhǔn)圓x²+y²=4的直徑．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（

2

，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為

3

．
∴c=

2

，a=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1，
∴準(zhǔn)圓方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）證明：（�。�∵準(zhǔn)圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2），
設(shè)過點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相切的直線為y=kx+2，
聯(lián)立

y=kx+2 ，  x2 3 +y2=1 ，

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∵直線y=kx+2與橢圓相切，
∴△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1，
∴l(xiāng)₁，l₂方程為y=x+2，y=-x+2．
∵kl1•kl2=-1，
∴l(xiāng)₁⊥l₂．
（ⅱ）①當(dāng)直線l₁，l₂中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線l₁斜率不存在，
則l₁：x=±

3

，
當(dāng)l₁：x=

3

時(shí)，l₁與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(

3

，1)，(

3

，-1)，
此時(shí)l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證當(dāng)l₁：x=-

3

時(shí)，直線l₁，l₂垂直．
②當(dāng)l₁，l₂斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中

x

2 0

+

y

2 0

=4．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x₀，y₀）與橢圓相切的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
∴由

y=t(x-x0)+y0 x2 3 +y2=1

得 (1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0．
由△=0化簡整理得 (3-

x

2 0

)t2+2x0y0t+1-

y

2 0

=0，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴有(3-

x

2 0

)t2+2x0y0t+(

x

2 0

-3)=0．
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，
∵l₁，l₂與橢圓相切，
∴t₁，t₂滿足上述方程(3-

x

2 0

)t2+2x0y0t+(

x

2 0

-3)=0，
∴t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
綜合①②知：∵l₁，l₂經(jīng)過點(diǎn)P（x₀，y₀），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且l₁，l₂垂直．
∴線段MN為準(zhǔn)圓x²+y²=4的直徑，|MN|=4，
∴線段MN的長為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、新定義、直線與橢圓相切?△=0、直線垂直與斜率的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．