Question

已知集合A既是分式不等式

1

x-3

＜1的解集，又是一元二次不等式x²+ax+b＞0的解集．
（1）求集合A；
（2）求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）解分式不等式求得A．
（2）根據(jù)A利用韋達(dá)定理求得實(shí)數(shù)a，b的值．

解答： 解：（1）

1

x-3

＜1⇒

1

x-3

-1＜0⇒

4-x

x-3

＜0⇒(4-x)(x-3)＜0⇒x＜3或x＞4，
所以集合A=（-∞，3）∪（4，+∞）．
（2）根據(jù)集合A為一元二次不等式x²+ax+b＞0的解集，則方程x²+ax+b=0的根即為x₁=3，x₂=4，
由韋達(dá)定理知

x1+x2=-a x1•x2=b

⇒

a=-7 b=12

．

點(diǎn)評：本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．