Question

已知三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若λ=

1

2

，求四棱錐B-CDFE的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）要證不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC，只需證CD⊥平面ABC，在△BCD中，根據(jù)∠BCD=90°得證．
（II）根據(jù)V_{三棱錐A-BEF}=V_{三棱錐F-ABE}，得出體積即可．

解答： 證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，…（2分）
∵CD⊥BC，且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，…（4分）
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1），
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

，
∴V_A-BCD=

1

3

S△_BCD•AB=

1

3

×

1

2

×

6

=

6

6

            …（8分）
∵λ=

1

2

，∴E為AC的中點，又EF⊥平面ABC
V_B-AFE=

1

3

S△_ABE•EF=

1

6

S△_ABC•EF=

1

6

×

1

2

×1×

6

×

1

2

=

6

24

    …（10分）
∴V_B-CDFE=V_A-BCD-V_B-AFE=

6

8

                  …（12分）

點評：本題考查考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．