Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+a

(x-1)2

，（x＞1）
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，+∞）上是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：壓軸題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過原函數(shù)求點的縱坐，通過導函數(shù)求切線的斜率，由點斜式求切線的方程；
（2）由導函數(shù)值的正負確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意要分類討論；
（3）由（2）知原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值情況研究函數(shù)的最值，同樣需要注意分類討論．

解答： 解：（1）當a=1時，
f′(x)=

-2(x-1)(x+2)

(x-1)4

=

-2(x+2)

(x-1)3

，
∴f'（2）=-8，
又f（2）=5，
∴切線方程為：y-5=-8（x-2）．
即：y=-8x+21．
（2）令f′(x)=

-2(x-1)(x+a+1)

(x-1)4

=

-2(x+a+1)

(x-1)3

=0，（x＞1），
得x=-a-1．
①當-a-1≤1，即a≥-2時，f'（x）＜0，（x＞1），
∴此時f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減；
②當-a-1＞1，即a＜-2時，
當x∈（1，-a-1）時，f'（x）＞0；
當x∈（-a-1，+∞）時，f'（x）＜0．
∴此時f（x）在（1，-a-1）單調(diào)遞增，在（-a-1，+∞）單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知：
①當a≥-2時，f（x）在[3，+∞）單調(diào)遞減，
所以此時無最小值．
②當a＜-2時，
若-a-1≤3，即-4≤a＜-2時，f（x）在[3，+∞）單調(diào)遞減，
此時也無最小值．
若-a-1＞3，即a＜-4時，
f(-a-1)=

2x+a

(x-1)2

=

-a-2

(-a-2)2

=-

1

a+2

＞0，
當x＞-a-1時，2x+a＞-2a-2+a=-a-2＞0∴x≥-a-1時，f（x）＞0，
又f(3)=

6+a

4

，
因此，若f（3）≤0，即a≤-6，則f(x)min=f(3)=

6+a

4

．
若f（3）＞0，即-6＜a＜-4，則無最小值．
綜上所述：.[f(x)]min=

a+6 4   ，(a≤-6) 無  ，   (a＞-6)

點評：本題主要考查導數(shù)的知識，利用導函數(shù)求切線的方程，用導函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性和最值．本題同時考查了分類討論的數(shù)學思想，對學生能力要求較高，屬于于難題．