Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x²=4

3

y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=

1

2

，直線l：y=kx+m（km＜0）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，AB∥l，且

|AB|2

|MN|

=4．是否存在直線l，使得

OM

•

ON

=-2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）利用拋物線的方程可得焦點(diǎn)，即可得到橢圓的上頂點(diǎn)，即得到b，再利用離心率計(jì)算公式和a²=b²+c²即可得出；
（II）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長|MN|，令m=0即可得出|AB|，再利用已知

|AB|2

|MN|

=4可得m與k的關(guān)系，利用數(shù)量積

OM

•

ON

=-2即可解出．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線C：x²=4

3

y的焦點(diǎn)為(0，

3

)，
∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0，

3

)，
∴b=

3

，
e=

c

a

=

1

2

，又a²=b²+c²，
解得a=2，c=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴△=64k²m²-16（4k²+3）（m²-3）=16（12k²-3m²+9）＞0，
則|MN|=

1+k2

•

△

3+4k2

=

4 1+k2 12k2-3m2+9

3+4k2

，
令m=0，可得|AB|=

4 1+k2 12k2+9

3+4k2

，
∴

|AB|2

|MN|

=

12 1+k2

12k2-3m2+9

=4，化簡得m=-k或m=k（舍去），
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

4k2-12

3+4k2

+k2(

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1)=

-5k2-12

3+4k2

=-2，
解得k=±

2

，
故直線l的方程為y=

2

(x-1)或y=-

2

(x-1)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．