Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x+1

，點O為坐標(biāo)原點，點A_n（n，f（n））（n∈N₊），若記直線OA_n的傾斜角為θ_n，則tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得A_n（n，

1

n+1

），直線OA_n的斜率tanθ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，用裂項法對tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n進行求和，可得結(jié)果．

解答： 解：由題意可得，A_n（n，

1

n+1

），∴直線OA_n的斜率tanθ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案為：

n

n+1

．

點評：本題主要考查直線的斜率公式的應(yīng)用，用裂項法進行數(shù)列求和，屬于中檔題．