Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的兩條漸近線為l₁，l₂，過右焦點(diǎn)F作垂直l₁的直線交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  5

• C、

  3

• D、

  3

  +1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長(zhǎng)度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．

解答： 解：∵b＞a＞0，∴漸近線斜率為：k＞1，
∴

b2

a2

=e²-1＞1，
∴e²＞2，
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=

3

4

|AB|，
∴

|AB|

|OA|

=

4

3

，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由對(duì)稱性可知：OA的斜率為k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB）
∴

2k

k2-1

=

4

3

，∴2k²-3k-2=0，∴k=2或（k=-

1

2

舍去）；
∴

b

a

=2，
∴e=

5

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)，做到邊做邊看，從而發(fā)現(xiàn)題中的巧妙，如據(jù)

|AB|

|OA|

=

4

3

，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．