【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性；（2）存在，使得對(duì)任意的都有恒成立，等價(jià)于，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值，解不等式即可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>， .

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以在上為增函數(shù)，；

②當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，；

③當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)， .

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得對(duì)任意的都有恒成立，

則.

由（1）知，當(dāng)時(shí)， .

因?yàn)?/span>，令，則，

令，得；令，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增.

所以，則，

解得，又，，

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；

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未使用新技術(shù)的10棵臍橙樹的年產(chǎn)量

第一棵

第二棵

第三棵

第四棵

第五棵

第六棵

第七棵

第八棵

第九棵

第十棵

年產(chǎn)量

30

32

30

40

40

35

36

45

42

30

使用了新技術(shù)后的10棵臍橙樹的年產(chǎn)量

第一棵

第二棵

第三棵

第四棵

第五棵

第六棵

第七棵

第八棵

第九棵

第十棵

年產(chǎn)量

40

40

35

50

55

45

42

50

51

42

已知該基地共有20畝地，每畝地有50棵臍橙樹.

（1）估計(jì)該基地使用了新技術(shù)后，平均1棵臍橙樹的產(chǎn)量；

（2）估計(jì)該基地使用了新技術(shù)后，臍橙年總產(chǎn)量比未使用新技術(shù)將增產(chǎn)多少？

（3）由于受市場(chǎng)影響，導(dǎo)致使用新技術(shù)后臍橙的售價(jià)由原來(lái)（未使用新技術(shù)時(shí)）的每千克10元降為每千克9元，試估計(jì)該基地使用新技術(shù)后臍橙年總收入比原來(lái)增加的百分?jǐn)?shù).

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