Question

12．如圖，△ABC中，三個內角B、A、C成等差數列，且AC=10，BC=15
（1）求△ABC的面積；
（2）已知平面直角坐標系xOy，點D（10，0），若函數f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象繞過A、C、D三點，且A、D為f（x）的圖象與x軸相鄰的兩個交點，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據等差數列的性質求出A=60°，結合余弦定理以及三角形的面積公式進行求解即可．
（2）根據三角函數的圖象，求出ω 和φ的值的值即可得到結論．

解答 解：（1）在△ABC中，∵角B、A、C成等差數列，
∴2A=B+C，即3A=180°，則A=60°                     …（1分）
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccos60°，…（2分）
∴c²-10c-125=0，
則c=|AB|=5+5$\sqrt{6}$． …（4分）
又∵|AO|=10cos60°=5，
∴|BO|=5$\sqrt{6}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$（5+5$\sqrt{6}$ ）×$5\sqrt{3}$=$\frac{25}{2}$（3$\sqrt{2}+\sqrt{3}$）．…（6分）
（2）T=2×（10+5）=30，
∴ω=$\frac{π}{15}$． …（8分）
∵f（-5）=Msin[$\frac{π}{15}$×（-5）+φ]=0，
∴sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，
則-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，…（10分）
∵f（0）=Msin$\frac{π}{3}$=5$\sqrt{3}$，
∴M=10，
則f（x）=10sin（$\frac{π}{15}$x+$\frac{π}{3}$）．…（12分）

點評 本題主要考查三角函數解析式的求解，利用等差數列和余弦定理的定義進行求解是解決本題的關鍵．