Question

通常把大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱為可入肺顆粒物）稱為PM2.5．我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，空氣質(zhì)量與PM2.5的關(guān)系如下表：

空氣質(zhì)量	一級	二級	超標
日均值（微克/立方米）	35以下	35～75	75以上

某城市環(huán)保局從該市城區(qū)2012年冬季每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（1）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天數(shù)據(jù)，求至少有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天的數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用莖葉圖結(jié)合對立事件的概率公式能求出隨機抽出三天，至少有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答： 解：（1）從莖葉圖可知，空氣質(zhì)量為一級的有4天，為二級的有6天，超標的有5天，
記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，至少有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，
則P（A）=1-

C 3 11

C 3 15

=

58

91

．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 10

C 3 15

=

24

91

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

，
P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

E（ξ）=

24

91

×0+

45

91

×1+

20

91

×2+

2

91

×3=1．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．