Question

已知常數(shù)λ≥0，設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：a₁=1，S_n+1=

an+1

an

S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）若λ=0，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n+1＜

1

2

a_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）λ=0時(shí)，由已知Sn+1=

an+1

an

Sn+an+1寫(xiě)出Sn=

an+1

an

Sn作差求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由已知求出

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=λ3n+1，利用累加法求出

Sn

an

-1=λ(3+32+…+3n-1)+n-1，仿寫(xiě)作差求出λ表達(dá)式，構(gòu)造數(shù)列bn=

2n

3n+3

求出其最大值，得到λ的范圍．

解答： 解：（1）λ=0時(shí)，Sn+1=

an+1

an

Sn+an+1
∴Sn=

an+1

an

Sn
∵a_n＞0，S_n＞0
∴a_n+1=a_n，
∵a₁=1，
∴a_n=1
（2）∵S_n+1=

an+1

an

S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
∴

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=λ3n+1，
則

S2

a2

-

S1

a1

=λ•3+1，

S3

a3

-

S2

a2

=λ•32+1，
∴

Sn

an

-

Sn-1

an-1

=λ3n-1+1．
相加得

Sn

an

-1=λ(3+32+…+3n-1)+n-1．
則Sn=(λ•

3n-3

2

+n)•an，(n≥2)
上式對(duì)n=1也成立．
∴Sn=(λ•

3n-3

2

+n)•an，
Sn+1=(λ•

3n+1-3

2

+n+1)•an+1，(n≥2)
相減得an+1=(λ•

3n+1-3

2

+n+1)•an+1-(λ•

3n-3

2

+n)•an
即(λ•

3n+1-3

2

+n)•an+1=(λ•

3n-3

2

+n)•an
∵λ≥0，
∴(λ•

3n-3

2

+n)＞0，λ•

3n+1-3

2

+n＞0
∵a_n+1＜

1

2

a_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，
∴(λ•

3n-3

2

+n)＜

1

2

(λ•

3n+1-3

2

+n)對(duì)一切n∈N^*恒成立，
即λ＞

2n

3n+3

對(duì)一切n∈N^*恒成立，
記bn=

2n

3n+3

則bn-bn+1=

2n

3n+3

-

2n+2

3n+1+3

=

(4n-2)3n-6

(3n+3)(3n+1+3)

當(dāng)n=1時(shí)，b_n-b_n+1=0
當(dāng)n≥2時(shí)b_n-b_n+1＞0
∴當(dāng)n=1時(shí)，bn=

2n

3n+3

有最大值

1

3

∴λ＞

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)的方法；考查不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求最值，構(gòu)造新數(shù)列的方法，屬于一道綜合題．