Question

15．班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，男、女生各抽取多少位才符合抽樣要求？
（2）隨機(jī)抽出8位，他們的物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對應(yīng)如下表：

學(xué)生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
物理分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
化學(xué)分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的散點圖說明化學(xué)成績y與物理成績x之間是否具有線性相關(guān)性？如果具有線性相關(guān)性，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請說明理由．
參考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$；  參考數(shù)據(jù)：$\overline{x}$=77.5，$\overline{y}$=84.875．
$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-x）²=1050，$\sum_{i=1}^{8}$（y_i-$\overline{y}$）²≈457，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）≈688．

Answer 1

分析 （1）先計算出抽樣比，進(jìn)而可得男、女生各抽取的人數(shù)；
（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程．

解答 解：（1）由已知得抽樣比k=$\frac{8}{25+15}$=$\frac{8}{40}$，
應(yīng)選女生25×$\frac{8}{40}$=5位，男生15×$\frac{8}{40}$=3位  …（3分）
（2）物理成績x為橫坐標(biāo)，化學(xué)成績y為縱坐標(biāo)作散點圖如下：

從散點圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近．
故化學(xué)與物理成績線性相關(guān)．
設(shè)y與x的線性回歸方程是y=bx+a，
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，$\overline{x}$=77.5，$\overline{y}$=84.875．
$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-x）²=1050，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）≈688．
可得：$\hat$=$b=\frac{\sum _{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{8}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$≈$\frac{688}{1050}$≈0.66，…（8分）
$\hat{a}$=84.875-0.66×77.5≈33.73，
所以：y與x的回歸方程是 $\hat{y}$≈0.66x+33.73．…（10分）

點評 本題考查的知識點是分層抽樣，回歸方程，熟練掌握最小二乘法的計算步驟，是解答的關(guān)鍵．