Question

7．已知函數(shù)$f（x）=2+\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$，實(shí)數(shù)a≠0．
（1）設(shè)mn＞0，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）設(shè)n＞m＞0且a＞0時(shí)，f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論m，n的符號，先下結(jié)論，再證明；
（2）問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)根m，n，再由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和配方法求n-m的最大值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由于mn＞0，需分類討論如下：
當(dāng)m＞0時(shí)，n＞0，函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＜0時(shí)，n＜0，函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，0＜m≤x₁＜x₂≤n，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a^2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{a^2}$•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
所以，f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）f（x）的定義域和值域都是[m，n]，且函數(shù)f（x）遞增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)根m，n，
因此，2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a^2x}$=x，整理得，a²x²-（2a+1）ax+1=0，---①
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，
|m-n|=$\frac{\sqrt{（2a+1）^2a^2-4a^2}}{a^2}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{2}{3}）^2+\frac{16}{3}}$，
當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，|m-n|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，方程①有兩相異正實(shí)根，符合題意，
因此，n-m的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)最值，屬于中檔題．