Question

在平面直角坐標系內(nèi)，直線l的方程為ax+by+c=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為不同的兩點，且點B不在直線l上，實數(shù)λ滿足ax₁+by₁+c+λ（ax₂+by₂+c）=0．給出下列四個命題：
①不存在λ，使點A在直線l上；
②存在λ，使曲線（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0關(guān)于直線l對稱；
③若λ=-1，則過A，B兩點的直線與直線l平行；
④若λ＞0，則點A，B在直線l的異側(cè)．
其中，所有真命題的序號是（　　）

• A、①②④
• B、③④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,直線的一般式方程,過兩條直線交點的直線系方程

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：①點在直線上，則點的坐標滿足直線方程，從而得到ax₁+by₁+c=0，進而可判斷①不正確．
②若λ=1，則ax₁+by₁+c+ax₂+by₂+c=0，推出直線經(jīng)過的點，判斷曲線是圓的方程，然后推出結(jié)果．判斷②的正誤；
③若λ=-1，則ax₁+by₁+c-（ax₂+by₂+c）=0，從而得到

y2-y1

x2-x1

與AB的斜率關(guān)系，即判斷③的正誤；
④若λ＞0，利用ax₂+by₂+c≠0，判斷ax₁+by₂+c與ax₂+by₂+c的符號，根據(jù)點與直線的位置關(guān)系從而可判定④正誤．

解答： 解：對于①，若點A在直線l上則ax₁+by₁+c=0，
∴存在實數(shù)λ=0，使點A在直線l上，
故①不正確；
對于②，若λ=1，則ax₁+by₁+c+ax₂+by₂+c=0，即a（

x1+x2

2

）+b（

y1+y2

2

）+c=0，
∴直線l經(jīng)過線段AB的中點，
曲線（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0是以AB為直徑的圓的方程．
存在λ，使曲線（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0關(guān)于直線l對稱．
故②正確；
對于③，若λ=-1，則ax₁+by₁+c-ax₂-by₂-c=0
即a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，∴

y2-y1

x2-x1

=-

a

b

直線l的方程為ax+by+c=0的斜率為：-

a

b

，
λ=-1，則過A，B兩點的直線與直線l平行；
即③正確；
對于④，若λ＞0，ax₁+by₁+c+λ（ax₂+by₂+c）=0，
點B不在直線l上，∴ax₂+by₂+c≠0，
則ax₁+by₁+c＞0或ax₂+by₂+c＜0，
或者ax₁+by₂+c＜0，ax₂+by₂+c＞0，
即點M、N在直線l的異側(cè)，故④正確．
正確命題：②③④．
故選：D．

點評：本題考查兩直線的位置關(guān)系，點與直線的位置關(guān)系，直線的一般式方程等知識的綜合應用，屬于難題．