Question

10．過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作圓C：x²+y²-8x+m=0的切線，切點(diǎn)為M、N，且|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（1）求實(shí)數(shù)m的值：
（2）若m＞12，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，與拋物線交于點(diǎn)A、B，是否存在直線l，使AB為直徑的圓與圓C外切，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明則由．

Answer 1

分析 （1）利用等面積，可得$\sqrt{（16-m）（m-7）}$=$\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{2}}{3}$，即可求實(shí)數(shù)m的值：
（2）以AB為直徑的圓與圓C外切有$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|，可得x₀+2=$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$①，分類(lèi)討論，利用斜率相等，可得${{y}_{0}}^{2}$=2（x₀-1）②，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），圓的圓心為（4，0），圓的半徑為$\sqrt{16-m}$，則
利用等面積，可得$\sqrt{（16-m）（m-7）}$=$\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{2}}{3}$，∴m=8或15；
（2）若m＞12，則m=15，圓C：（x-4）²+y²=1，半徑為1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
由拋物線定義可知$\frac{|AB|}{2}$=x₀+1，∴以AB為直徑的圓與圓C外切有$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|，
∴x₀+2=$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$①
當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，Q與F重合，x₀=1，此時(shí)$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|，符合題意；
當(dāng)AB斜率存在時(shí)，x₀≠1，由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，可得k_AB=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∵k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∴$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∴${{y}_{0}}^{2}$=2（x₀-1）②，
聯(lián)立①②，解得x₀=1（矛盾），
綜上所述，存在直線AB：x=1，符合條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．