Question

已知函數f（x）=x²-2x+a，其中a＞0，若存在實數t，使f（t）＜0，則f（t+2）•f（

2t+1

3

）的值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由已知可得f（x）=x²-2x+a＜0的解集（m，n），滿足（m，n）⊆（0，2），進而分析f（t）＜0時，f（t+2），f（

2t+1

3

）的符號，進而可得f（t+2）•f（

2t+1

3

）的符號．

解答： 解：∵f（x）=x²-2x+a=0，
則|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=4-4a，
∵0＜4-4a＜4，
∴0＜|x₂-x₁|＜2，
又∵f（0）=f（2）=a＞0，函數f（x）圖象的對稱軸x=1∈（0，2），
設f（x）=x²-2x+a＜0的解集為（m，n），
則（m，n）⊆（0，2），
當t∈（m，n）⊆（0，2）時，
t+2∈（2，4），故f（t+2）＞0，

2t+1

3

∈（

2m+1

3

，

2n+1

3

）⊆（m，n），故f（

2t+1

3

）＜0，
故f（t+2）•f（

2t+1

3

）＜0，
即f（t+2）•f（

2t+1

3

）的值為負．
故答案為：負．

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，其中根據已知分析出f（t+2），f（

2t+1

3

）的符號，是解答的關鍵．