Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1，若對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知中對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立可得：在區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)|f′（x）|=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=|2x-m|≤1恒成立，進(jìn)而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x²-mx+m-1，
∴f′（x）=2x-m，
若對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，
即對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，總有|f′（x）|=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≤1
即在區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)|2x-m|≤1恒成立
即

2x-m≤1 2x-m≥-1

在區(qū)間[2，

5

2

]上恒成立
∴即

m≥2x-1 m≤2x+1

在區(qū)間[2，

5

2

]上恒成立
∴4≤m≤5．
故實數(shù)m的取值范圍為[4，5]．

點評：本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中根據(jù)已知得到在區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)|f′（x）|=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=|2x-m|≤1恒成立，是解答的關(guān)鍵．