Question

5．正三棱柱ABC一A₁B₁C₁的底面邊長為2，D為AB上一點，如圖，建立空間直角坐標系．
（1）若$\overrightarrow{{A}_{1}D}$是平面B₁DC的法向量，即$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面B₁DC，求正三棱柱的側棱長．
（2）若D為AB的中點，且$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{CB}_{1}}$，求正三棱柱的側棱長．
（3）在（2）情況下，在側棱CC₁上求一點N，使得cos（$\overrightarrow{{DB}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$）=$\frac{3}{\sqrt{34}}$．

Answer 1

分析 （1）設出D（a，b），側棱長為z，用a，b，z表示出$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，$\overrightarrow{CD}$的坐標，借助線面垂直得出關于a，b，z的方程，解出z；
（2）設出側棱長為z，則用在表示出$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$，根據(jù)向量垂直得出方程，解出z；
（3）設N（0，1，a），則用a表示出$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$，計算出夾角的余弦，列出方程解出a．

解答 解：（1）設正棱柱的側棱長為z，D（a，b，0），則A₁（0，-1，z），B₁（$\sqrt{3}$，0，z），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（a，b+1，-z），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}$，1，-z），$\overrightarrow{CD}$=（a，b-1，0）．
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面B₁DC，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}⊥\overrightarrow{CD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a+b+1+{z}^{2}=0}\\{{a}^{2}+^{2}-1=0}\end{array}\right.$，∴z²=$\sqrt{3}a-b-1$．
∵D在AB上，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}a-b-1=0$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，∴z²=1，即z=1．
∴正三棱柱的側棱長是1．
（2）設正棱柱的側棱長為z，則A₁（0，-1，z），B₁（$\sqrt{3}$，0，z），C（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-z），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，z）．
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{CB}_{1}}$，∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=0，即$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$-z²=0，解得z=1．
∴正三棱柱的側棱長是1．
（3）設N（0，1，a），∵A（0，-1，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AN}$=（0，2，a），
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$•$\overrightarrow{AN}$=1+a，|$\overrightarrow{D{B}_{1}}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AN}$|=$\sqrt{4+{a}^{2}}$．
∴cos＜$\overrightarrow{{DB}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{1+a}{\sqrt{2}•\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{34}}$．
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴N為C₁C的中點．

點評 本題考查了平面向量在立體幾何中的應用，常使用設坐標法求解．