Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x
（Ι）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1與x=

1

2

處的切線相互平行，求實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在（

1

3

，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于P、Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)作X軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N，判斷C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線是否平行，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ι）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解y′≤0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ι）令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-

1

2

ax2+2x，h′(x)=

1

x

-ax+2
依題意，h′(

1

2

)=h′(1)，解之，a=-2
（Ⅱ） 依題意，h′(x)=

1

x

-ax+2≤0，?x∈(

1

3

，1)恒成立，
a≥

1

x2

+

2

x

，
∵

1

x

∈(1，3)∴a≥15
（Ⅲ）∵f′(x)=

1

x

，g′(x)=ax-2，
假設(shè)有可能平行，
則存在a使f′(

x1+x2

2

)=g′(

x1+x2

2

)，

2

x1+x2

=

a

2

(x1+x2)-2，

2(x1-x2)

x1+x2

=

a

2

(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)

2(x1-x2)

x1+x2

=(

1

2

ax12-2x1)-(

1

2

ax22-2x2)lnx₁=

1

2

ax12-2x1，lnx₂=

1

2

ax22-2x2，

2(x1-x2)

x1+x2

=lnx₁-lnx₂=ln

x1

x2

，
不妨設(shè)x1＞x2＞0，t=

x1

x2

＞1

2(t-1)

t+1

=lnt存在大于1的實(shí)根，
φ（t）=

2(t-1)

t+1

-lntφ′(t)=

-(t-1)2

t(t+1)2

＜0，φ（t）是減函數(shù)，
∴φ（t）＜φ（1）=0，這與存在t＞1使φ（t）=0矛盾，
故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不可能平行．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．