Question

19．設(shè)a+b=2，b＞0，
（1）若a＞0，且a+2b+mab＞0恒成立，求m的取值范圍；
（2）若a∈R，求 $\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化為$-m＜\frac{1}+\frac{2}{a}$，由a+b=2，b＞0，a＞0，可得$\frac{1}+\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}（a+b）（\frac{1}+\frac{2}{a}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{a}+\frac{2b}{a}）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（2）對a分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）原不等式可化為$-m＜\frac{1}+\frac{2}{a}$，
∵a+b=2，b＞0，a＞0，
∴$\frac{1}+\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}（a+b）（\frac{1}+\frac{2}{a}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{a}+\frac{2b}{a}）$≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b=2（2-$\sqrt{2}$）時取等號．
∴${（{\frac{1}+\frac{2}{a}}）_{min}}=\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$，
∴m的范圍是$（-\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}，+∞）$．
（2）由題a≠0，當(dāng)a＞0時，原式=$\frac{1}{2a}+\frac{a}$=$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}$=$\frac{1}{4}+\frac{4a}+\frac{a}$$≥\frac{5}{4}$．
a＜0時，原式=$\frac{1}{-2a}+\frac{-a}$=$\frac{a+b}{-4a}+\frac{-a}$=$-\frac{1}{4}+\frac{-4a}+\frac{-a}$$≥\frac{3}{4}$．
故所求的最小值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．