Question

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{3}$，AA₁=2，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥A₁ABB₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導出AA₁⊥CD，AB⊥CD，由此能證明CD⊥A₁ABB₁．
（Ⅱ）連結(jié)CB₁，BC₁，交于點O，連結(jié)OD，由三角形中位線定理得OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）取A₁B₁中點F，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，點D是AB的中點，
∴AA₁⊥CD，AB⊥CD，
∵AA₁∩AB=A，∴CD⊥A₁ABB₁．
（Ⅱ）證明：連結(jié)CB₁，BC₁，交于點O，連結(jié)OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BCC₁B₁是矩形，∴O是BC₁的中點，
∵點D是AB的中點，∴OD∥AC₁，
∵AC₁?平面平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：取A₁B₁中點F，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，DF為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵AB=2$\sqrt{3}$，AA₁=2，∴A（-$\sqrt{3}$，0，0），C₁（0，1，2），
B₁（$\sqrt{3}$，0，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），
設(shè)異面直線AC₁與B₁C所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$|=|$\frac{-3+1-4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=$\frac{3}{4}$．
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．