Question

3．已知函數(shù)f（x）=|3x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{4}{3}$}，求實數(shù)a的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，令g（x）=f（x）+f（x+5），若不等式g（x）≥|m-1|對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)不等式的解和方程的根的關(guān)系可知：f（-$\frac{2}{3}$）=3，f（$\frac{4}{3}$）=3，聯(lián)立求解即可；
（Ⅱ）g（x）≥|m-1|對一切實數(shù)x恒成立，只需求出g（x）的最小值，g（x）=f（x）+f（x+5）=|3x-1|+|3x+14|，利用絕對值不等式的性質(zhì)可得|3x-1|+|3x+14|≥|3x-1-3x-14|=15，求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：
f（-$\frac{2}{3}$）=3，f（$\frac{4}{3}$）=3，
∴3=|a+2|，3=|4-a|，
∴a=1．
（Ⅱ）由a=1得，
f（x）=|3x-1|，f（x+5）=|3x+14|，
∴g（x）=f（x）+f（x+5）=|3x-1|+|3x+14|，
g（x）≥|m-1|對一切實數(shù)x恒成立，
∵|3x-1|+|3x+14|≥|3x-1-3x-14|=15，
∴15≥|m-1|，
∴-14≤m≤16．

點評 考查了不等式解集與方程的關(guān)系，恒成立問題的轉(zhuǎn)換和絕對值定理的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．