Question

若x⁴+ax-4=0的各個實根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對應的點i（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、R
• B、∅
• C、（-6，6）
• D、（-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：原方程等價于x³+a=

4

x

，原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=

4

x

的交點的橫坐標，分別作出左右兩邊函數的圖象：分a＞0與a＜0討論，可得答案．

解答： 解：方程的根顯然x≠0，原方程等價于x³+a=

4

x

，
原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=

4

x

的交點的橫坐標，
而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個單位而得到的，
若交點（x_i，

4

xi

）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側，
因直線y=x與y=

4

x

交點為：（-2，-2），（2，2）；


所以結合圖象可得

a＞0 (-2)3+a＞-2 x＜-2

或

a＜0 23+a＜2 x＞2

，
解得a＞6或a＜-6．
故實數a的取值范圍是（-∞，-6）∪（6，+∞）．
故選：D

點評：本題綜合考查了反比例函數，反比例函數與一次函數圖象的交點問題，數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質．