Question

已知點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足

AP

•

AF

=2|

FP

|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）在直線l：y=2x+2上取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作軌跡C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．問：是否存在點(diǎn)Q，使得直線MN∥l？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)P滿足

AP

•

AF

=2|

FP

|，建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）求出過點(diǎn)M、N的切線方程，可得直線MN的方程，利用MN∥l，可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足

AP

•

AF

=2|

FP

|，
∴（x+1，y）•（2，0）=2

(x-1)2+y2

，
∴2（x+1）=2

(x-1)2+y2

，
∴y²=4x；
（2）直線l方程為y=2（x+1），設(shè)Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
過點(diǎn)M的切線方程設(shè)為x-x₁=m（y-y₁），代入y²=4x，
得y2-4my+4my1-y12=0，
由△=16m2-16my1+4y12=0，得m=

y1

2

，
所以過點(diǎn)M的切線方程為y₁y=2（x+x₁），
同理過點(diǎn)N的切線方程為y₂y=2（x+x₂）．
所以直線MN的方程為y₀y=2（x₀+x），
又MN∥l，所以

2

y0

=2，得y₀=1，
而y₀=2（x₀+1），
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查拋物線的切線，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求出直線MN的方程是關(guān)鍵．