Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=x，BC=1，對(duì)角線(xiàn)AC與BD的夾角∠BOC=45°，記直線(xiàn)AB與CD的距離為h（x）．求h（x）的表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,解三角形

分析：利用由平行四邊形對(duì)角線(xiàn)平方和等于四條邊的平方和，結(jié)合余弦定理，S_△BCD=4S_△OBC，即可求出h（x）的表達(dá)式，利用基本不等式，可以寫(xiě)出x的取值范圍．

解答： 解：由平行四邊形對(duì)角線(xiàn)平方和等于四條邊的平方和得
OB2+OC2=

1

2

(AB2+BC2)=

1

2

(x2+1)．    ①
在△OBC中，由余弦定理
BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC，
所以OB2+OC2-

2

OB•OC=1，②
由①，②得OB•OC=

x2-1

2 2

．              ③
所以S_△BCD=4S_△OBC=4•

1

2

OB•OC•sin∠BOC=

2

OB•OC=

x2-1

2

，
故AB•h（x）=

x2-1

2

，
所以h（x）=

x2-1

2x

                
由③可得，x²-1＞0，故x＞1．
因?yàn)镺B²+OC²≥2OB•OC，結(jié)合②，③可得

x2+1

2

≥2•

x2-1

2 2

，
因?yàn)閤＞1，
所以1＜x≤

2

+1．
綜上所述，h（x）=

x2-1

2x

，1＜x≤

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形對(duì)角線(xiàn)平方和等于四條邊的平方和，考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．