Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=3，S_n是其前n項和，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且b₂+S₂=10，S₅=5b₃+3a₂．
（I ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

2

Sn

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證Tn＜

3

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，依題意，列方程組

b1q+2a1+d=10 5a1+ 5×4 2 ×d=5b1q2+3(a1+d)

，可求得q及d，從而可得數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

，于是可求得T_n=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，從而可證得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，S₅=5b₃+3a₂，
∴

b1q+2a1+d=10 5a1+ 5×4 2 ×d=5b1q2+3(a1+d)

，
解得q=2或q=-

17

5

（舍），d=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2n+1，數(shù)列{b_n}的通項公式是b_n=2^n-1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，
于是c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

，
∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）
=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查裂項法求和，考查運算與求解能力，屬于難題．