Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，建立方程即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式f（t-1）+f（2t）＜0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴b=0．
又f(

1

2

)=

2

5

，
∴

1 2 a

1+( 1 2 )2

=

2

5

，
∴a=1，
∴f(x)=

x

1+x2

（2）證明：任設(shè)x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＞0，
又1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（t-1）＜f（-t），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式可化為f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t）
即 f（t-1）＜f（-2t），
又f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
∴有

-1＜t-1＜1 -1＜2t＜1 t-1＜-2t

解之得0＜t＜

1

3

，
∴不等式的解集為{t|0＜t＜

1

3

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的證明和判斷，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．