Question

16．解不等式$\frac{4}{（2sinx+1）^{3}}+\frac{5}{2sinx+1}-4si{n}^{3}$x-5sinx＞0．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=4x³+5x，問題轉(zhuǎn)化為f（$\frac{1}{2sinx+1}$）＞f（sinx），由導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性可得sinx的不等式，解不等式可得．

解答 解：原不等式可化為：4（$\frac{1}{2sinx+1}$）³+5（$\frac{1}{2sinx+1}$）＞4sin³x+5sinx，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=4x³+5x，則f′（x）=12x²+5＞0，
∴函數(shù)f（x）=4x³+5x在R上單調(diào)遞增，
∴不等式可化為f（$\frac{1}{2sinx+1}$）＞f（sinx），
由單調(diào)性可得$\frac{1}{2sinx+1}$＞sinx，
整理可得2sin²x+sinx-1＜0，即（sinx+1）（2sinx-1）＜0，
解得-1＜sinx＜$\frac{1}{2}$，由三角函數(shù)可得2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴原不等式的解集為{x|2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}

點評 本題考查含三角函數(shù)的不等式的解集，轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．