Question

8．已知直線l：2x-y-1=0，動點P（x，y）在直線l上．
（1）若A（0，4），B（-2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此時點P的坐標；
（2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|-|PA|的最大值并求此時點P的坐際．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設點A關(guān)于直線l的對稱點A′（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x+0}{2}-\frac{4+y}{2}-1=0}\\{\frac{y-4}{x-0}×2=-1}\end{array}\right.$，解得A′．連接A′B交直線l于點P，則點P即為所求．
（2）如圖所示，由（1）可知：點A關(guān)于直線l的對稱點A′（4，2），連接CA′并延長交直線l于點P，則點P滿足使得|PC|-|PA|取得最大值|A′C|．

解答 解：（1）如圖所示，
設點A關(guān)于直線l的對稱點A′（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x+0}{2}-\frac{4+y}{2}-1=0}\\{\frac{y-4}{x-0}×2=-1}\end{array}\right.$，解得A′（4，2）．
連接A′B交直線l于點P，則點P即為所求．
否則在直線l上除了點P以外的任取點P′，則BP′+AP′＞A′B=BP+AP．
∴|PA|+|PB|的最小值=|BA′|=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
直線BA′：$y=\frac{0-2}{-2-4}（x+2）$，化為x-3y+2=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得P（1，1）．
（2）如圖所示，
由（1）可知：點A關(guān)于直線l的對稱點A′（4，2），
連接CA′并延長交直線l于點P（4，7），
則點P滿足使得|PC|-|PA|取得最大值|A′C|=1．
否則在直線l上除了點P以外的任取點P′，則|P′C|-|P′A|＜|A′C|．
∴P（4，7）滿足使得|PC|-|PA|取得最大值|A′C|=1．

點評 本題考查了軸對稱問題、線段的垂直平分線性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．