Question

5．求值：
（1）sin6°sin42°sin66°sin78°；
（2）$\frac{sin50°（1+\sqrt{3}tan10°）-cos20°}{cos80°\sqrt{1-cos20°}}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)為余弦函數(shù)，然后利用二倍角的正弦函數(shù)求解即可．
（2）利用三角恒等變換，先將所求關(guān)系式中的“切”化“弦”，再通分化簡(jiǎn)，利用兩角和的正弦與二倍角的正弦及升冪公式、誘導(dǎo)公式即可求得答案．

解答 解：（1）sin6°sin42°sin66°sin78°
=sin6°cos12°cos24°cos48°
=$\frac{{2}^{4}cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°}{{2}^{4}cos6°}$
=$\frac{8sin12°cos12°cos24°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{4sin24°cos24°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{2sin48°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{sin96°}{16cos6°}$
=$\frac{1}{16}$．
（2）原式=$\frac{sin50°（1+\sqrt{3}\frac{sin10°}{cos10°}）-cos20°}{cos80°\sqrt{1-cos20°}}$
=$\frac{sin50°\frac{2sin（10°+30°）}{cos10°}-cos20°}{cos80°\sqrt{2{sin}^{2}10°}}$
=$\frac{\frac{sin80°}{cos10°}-cos20°}{\sqrt{2}{sin}^{2}10°}$
=$\frac{1-（1-2{sin}^{2}10）}{\sqrt{2}{sin}^{2}10°}$
=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題（l）考查誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式，是一道中檔題．此題的突破點(diǎn)是分子變形后給分子分母都乘以16cos6°以至于造成了一系列的連鎖反應(yīng)．（2）考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查兩角和的正弦與二倍角的正弦及升冪公式、誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用，屬于難題．