Question

如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=

5

，PB=

10

，PC=2

2

，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PB，PA 上滿足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求證：△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）求平面EFC與平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直，分別證明∠CAB與∠CBA，∠ACB為銳角，即可證明△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出平面EFC與平面ABC所成的角的余弦值

解答： 證明：（Ⅰ）過(guò)P作PD⊥AB于D，連接CD，
則

PC⊥PA PC⊥PB PA∩PB=P

，
則PC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴AB⊥PC，
∵PD⊥AB，PC∩PD=P，
即

AB⊥面PDC CD?面ABC

，
則AB⊥CD，
則∠CAB與∠CBA均為銳角，同理可知∠ACB為銳角
即△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）以P為原點(diǎn)PB、PA、PC分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系．
則C（0，0，

2 5

5

），A（0，2

2

，0），B（

2 10

5

，0，0），E（

2 10

15

，0，0），F(xiàn)（0，

4 2

5

，0），
則

AC

=（0，-2

2

，

2 5

5

），

AB

=（

2 10

15

，-2

2

，0）
設(shè)平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =0 n • AB =0

，即

-2 2 y+ 2 5 5 z=0 2 10 5 x-2 2 y=0

，令y=1，則x=

5

，z=

10

，即

n

=（

5

，1，

10

），
同理求得平面EFC的法向量

m

=（6，

5

，

2

），
兩平面的夾角的余弦值cos＜

m

，

n

＞=

11 5

28

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的應(yīng)用，以及二面角的求法，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．