如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=
5
，PB=
10
，PC=2
2
，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PB，PA 上滿足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求證：△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）求平面EFC與平面ABC所成的角的余弦值．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題：空間角
分析：（Ⅰ）利用線面垂直，分別證明∠CAB與∠CBA，∠ACB為銳角，即可證明△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出平面EFC與平面ABC所成的角的余弦值
解答： 證明：（Ⅰ）過P作PD⊥AB于D，連接CD，
則
PC⊥PA
PC⊥PB
PA∩PB=P
，
則PC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴AB⊥PC，
∵PD⊥AB，PC∩PD=P，
即
AB⊥面PDC
CD?面ABC
，
則AB⊥CD，
則∠CAB與∠CBA均為銳角，同理可知∠ACB為銳角
即△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）以P為原點(diǎn)PB、PA、PC分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系．
則C（0，0，
2
5
5
），A（0，2
2
，0），B（
2
10
5
，0，0），E（
2
10
15
，0，0），F(xiàn)（0，
4
2
5
，0），
則
AC
=（0，-2
2
，
2
5
5
），
AB
=（
2
10
15
，-2
2
，0）
設(shè)平面ABC的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
AC
=0
n
•
AB
=0
，即
-2
2
y+
2
5
5
z=0
2
10
5
x-2
2
y=0
，令y=1，則x=
5
，z=
10
，即
n
=（
5
，1，
10
），
同理求得平面EFC的法向量
m
=（6，
5
，
2
），
兩平面的夾角的余弦值cos＜
m
，
n
＞=
11
5
28
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的應(yīng)用，以及二面角的求法，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
m
=（2sinx，2cosx），
n
=（cos
π
3
，-sin
π
3
），f（x）=
m
•
n
+1
（Ⅰ）求f（
π
2
）的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（
π
2
x），求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）；
（Ⅲ）若函數(shù)h（x）=
sin•f2(x+
π
3
)-8
1+cos2x
在區(qū)間[-
5π
4
，
5π
4
]上的最大值為M，最小值為m，求M+m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
倍，再將所得函數(shù)圖象向右平移
π
6
個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-
π
2
，
5π
12
]時(shí)，求函數(shù)y=f（x+
π
12
）-
2
f（x+
π
3
）的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+3•2n-1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）令bn=n（an+1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若AD=3OD，求證：CD∥平面PBO；
（Ⅱ）若PD=AB=BC=1，求二面角C-PD-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊長，且b2+c2-a2=bc
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，試判斷△ABC的形狀并求角B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校對(duì)手工社、攝影社兩個(gè)社團(tuán)招新報(bào)名的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
手工社 攝影社 總計(jì)
女生 6
男生 42
總計(jì) 30 60
（1）請(qǐng)完整上表中所空缺的五個(gè)數(shù)字
（2）已知報(bào)名攝影社的6名女生中甲乙丙三人來自于同一個(gè)班級(jí)，其他再無任意兩人同班情況．現(xiàn)從此6人中隨機(jī)抽取2名女生參加某項(xiàng)活動(dòng)，則被選到兩人同班的概率是多少？
（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為學(xué)生對(duì)這兩個(gè)社團(tuán)的選擇與“性別”有關(guān)系？
注：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A={x|x2-ax-2a2＜0}，B={y|0＜y≤3}，B⊆A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

x2+x+4≥ax，對(duì)一切的x＞0恒成立，則a的取值范圍是
 
．

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