Question

16．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求S_△ABC．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理可得ab，與a+b=6聯(lián)立即可得出．
（II）利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2ab×$\frac{7}{9}$，∴2²=6²-$\frac{32}{9}$ab，解得ab=9．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a+b=6}\\{ab=9}\end{array}\right.$，解得a=b=3．
（II）∵cosC=$\frac{7}{9}$，C∈（0，π）．∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．