Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4ax，x≥0}\\{-{x}^{2}-3ax，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R
（Ⅰ）若關(guān)于x的方程f（x）=a-3有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，x≥0時(shí)，求得f（x）的最小值，x＜0時(shí)，配方求得最大值，由題意可得-4a²＜a-3＜$\frac{9}{4}$a²，解不等式可得a的范圍；再由當(dāng)a≤0時(shí)，判斷單調(diào)性可得a的范圍；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，即為f（x）_max-f（x）_min≤4，討論a＜0，a=0，a＞0，分當(dāng)a≥$\frac{2}{3}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，考慮對(duì)稱軸和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，可得最值，解不等式可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，x≥0時(shí)，f（x）=x²-4ax=（x-2a）²-4a²，
可得x=2a取得最小值，且為-4a²，
x＜0時(shí)，f（x）=-x²-3ax=-（x+$\frac{3a}{2}$）²+$\frac{9}{4}$a²，
可得x=-$\frac{3}{2}$a時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{9}{4}$a²．
由題意可得-4a²＜a-3＜$\frac{9}{4}$a²，
解得a＞$\frac{3}{4}$；
當(dāng)a≤0時(shí)，x≥0時(shí)f（x）遞增，x＜0時(shí)，f（x）遞增，
即有f（x）為R上的增函數(shù)，
故不存在a，使得f（x）=a-3有三個(gè)不同的根．
綜上可得a的范圍是（$\frac{3}{4}$，+∞）；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
即為f（x）_max-f（x）_min≤4，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為R上的增函數(shù)，
即有4≥f（1）-f（-1）=1-4a-（-1+3a），
解得-$\frac{2}{7}$≤a≤0；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)a≥$\frac{2}{3}$時(shí)，即有對(duì)稱軸x=-$\frac{3}{2}$a≤-1，x=2a≥$\frac{4}{3}$＞1，
即有f（x）在[-1，1]遞減，可得f（1）最小，且為1-4a，
f（-1）最大，且為-1+3a，由4≥f（-1）-f（1）=-2+7a，
解得$\frac{2}{3}$≤a≤$\frac{6}{7}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，即有對(duì)稱軸x=-$\frac{3}{2}$a＞-1，x=2a≥1，
可得最小值為f（1）=1-4a，最大值為f（-$\frac{3}{2}$a）=$\frac{9}{4}$a²，
由4≥$\frac{9}{4}$a²-1+4a，解得$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{2}{3}$；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，即有對(duì)稱軸x=-$\frac{3}{2}$a＞-1，x=2a＜1，
可得最小值為f（2a）=-4a²，最大值為f（-$\frac{3}{2}$a）=$\frac{9}{4}$a²，
由4≥$\frac{9}{4}$a²+4a²，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
綜上可得a的范圍是-$\frac{2}{7}$≤a≤$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．