Question

已知拋物線Q：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)相同．
（Ⅰ）求拋物線Q的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設(shè)A、B、C是拋物線Q上任意不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A位于x軸上方，B、C位于x軸下方．直線AB、AC與x軸分別交于點(diǎn)E、F，BF與直線OC、EC分別交于點(diǎn)M、N．記△OBM、△ENF、△MNC的面積依次為S₁、S₂、S₃，求證：S₁+S₂=S₃．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（I）利用橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），E（x₄，y₄），F(xiàn)（x₅，y₅）．要證S₁+S₂=S₃，即證S_△OBF=S_△OCE，即證x₅y₂=x₄y₃，利用直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)，進(jìn)而得到．

解答： 解：（Ⅰ）由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的方程可得a²=4，b²=3，
∴c=

a2-b2

=1，
∴右焦點(diǎn)為（1，0），
由于拋物線Q：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)相同，
∴

p

2

=1，解得p=2，
故拋物線Q的方程為y²=4x； 
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），E（x₄，y₄），F(xiàn)（x₅，y₅）．
要證S₁+S₂=S₃，即證S_△OBF=S_△OCE，即證x₅y₂=x₄y₃，
設(shè)直線AB的方程為x=ty+x₄，代入y²=4x得
y²-4ty-4x₄=0，
由韋達(dá)定理得，y₁y₂=-4x₄，①
同理可得y₁y₃=-4x₅   ②
①×y₃得y₁y₂y₃=-4x₄y₃，②×y₂得y₁y₂y₃=-4x₅y₂，
∴x₅y₂=x₄y₃，證畢．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、面積問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．