Question

18．為了研究“教學(xué)方式”對(duì)教學(xué)質(zhì)量的影響，某校數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對(duì)入學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教學(xué)（勤奮程度和自覺(jué)性都一樣）．以下莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)．
（1）現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)中至少有一名被抽中的概率：
（2）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于75分的為優(yōu)秀．請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”．

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)

下面臨界值表僅供參考：

P（x2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.79	10.828

參考公式：x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$．

Answer 1

分析 （1）先求得甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)人數(shù)及成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)人數(shù)，利用排列組合求得基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式計(jì)算；
（2）根據(jù)莖葉圖分別求出甲、乙班優(yōu)秀的人數(shù)與不優(yōu)秀的人數(shù)，列出列聯(lián)表，利用相關(guān)指數(shù)公式計(jì)算K²的觀測(cè)值，比較與臨界值的大小，判斷成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)的可靠性程度．

解答 解：（1）記成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)為A，B，其他不低于80分的同學(xué)為C、D、E，“從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)”的一切可能結(jié)果組成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）（D，E）共10個(gè)，…（2分）
“抽到至少有一個(gè)87分的同學(xué)”所組成的基本事件有：
（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）一共7個(gè)，…（4分）
所以所求事件的概率是P=$\frac{7}{10}$．…（5分）
（2）

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀	6	14	20
不優(yōu)秀	14	6	20
合計(jì)	20	20	40

…（7分）
Χ²=$\frac{{40×{{（6×6-14×14）}^2}}}{20×20×20×20}$=6.400＜6.635…（10分）
因此，我們沒(méi)有99%的把握認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由莖葉圖求分類變量的列聯(lián)表，及根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算相關(guān)指數(shù)K²的觀測(cè)值，考查了古典概型的概率計(jì)算，綜合性強(qiáng)，計(jì)算要細(xì)心，由公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)K²的觀測(cè)值并由觀測(cè)值判斷成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)的可靠性程度是解題的關(guān)鍵．