Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別為PD，PB的中點(diǎn)，平面MCN與PA交點(diǎn)為Q．
（Ⅰ）求PQ的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面MCN的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP為x，y，z正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PQ的長(zhǎng)度．（Ⅱ）分別求出平面MCN的法向量和平面ABCD的法向量．由此利用向量法能求出截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值．
（Ⅲ）由

AN

=(0，1，2)，平面MCN的法向量

n1

=（

2

，1，1），利用向量法能求出點(diǎn)A到平面MCN的距離．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由題意以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP為x，y，z正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則有：A（0，0，0）、D(

2

，0，0)、B（0，2，0）、
C(

2

，1，0)、P（0，0，4）、M(

2

2

，0，2)、N（0，1，2）．
設(shè)Q（0，0，a），由于Q∈平面MCN，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得

CQ

=λ

CM

+μ

CN

，
即(-

2

，-1，a)=λ(-

2

2

，-1，2)+μ(-

2

，0，2)．
由

- 2 =- 2 2 λ- 2 μ -1=-λ

，得：

λ=1 μ= 1 2

．
于是a=2λ+2μ=3，|

PQ

|=1．
∴PQ的長(zhǎng)度是1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)平面MCN的法向量

n1

=(x，y，1)，
由

n1 • CM =(x，y，1)•(- 2 2 ，-1，2)=- 2 2 x-y+2=0 n1 • CN =(x，y，1)•(- 2 ，0，2)=- 2 x+2=0

，
取x=

2

，得

n1

=(

2

，1，1)．
由題意

n2

=(0，0，1)為平面ABCD的法向量．
于是，cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

．
∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值為

3

2

．…（10分）
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)A到平面MCN的距離為d，
∵

AN

=(0，1，2)，平面MCN的法向量

n1

=（

2

，1，1），
∴d=

| AN • n1 |

| n1 |

=

3

2

．
∴點(diǎn)A到平面MCN的距離為

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．