Question

7．若函數(shù)$f（x）=lnx+ax+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，0]∪[\frac{1}{4}，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{1}{4}]∪[0，+∞）$
• C． $[-\frac{1}{4}，0]$
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分類討論，分別列出不等式進行分離常數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)后，利用整體思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得a的取值范圍．

解答 解：由題意得，f′（x）=$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}$，
因為$f（x）=lnx+ax+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
①當(dāng)f′（x）≥0時，則$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}≥0$在[1，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
因為x∈[1，+∞），所以$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
當(dāng)$\frac{1}{x}$=1時，g（x）取到最大值是：0，
所以a≥0，
②當(dāng)f′（x）≤0時，則$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
因為x∈[1，+∞），所以$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
當(dāng)$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$時，g（x）取到最大值是：$-\frac{1}{4}$，
所以a≤$-\frac{1}{4}$，
綜上可得，a≤$-\frac{1}{4}$或a≥0，
所以數(shù)a的取值范圍是（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[0，+∞），
故選：B．

點評 本題查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查分離常數(shù)法，整體思想、分類討論思想，屬于中檔題．