Question

12．已知集合M={x||x+1|≤1}，P={y|y=4^x-a•2^x-1+1，x∈M}都是全集U=R的子集，其中$\frac{3}{4}$＜a≤1，求∁_u（M∪P）

Answer 1

分析 化簡集合M、P，用換元法設(shè)t=2^x，把P中函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，
利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y的最大、最小值，即得集合P，再求出∁_U（M∪P）．

解答 解：集合M={x||x+1|≤1}={x|-1≤x+1≤1}={x|-2≤x≤0}，
P={y|y=4^x-a•2^x-1+1，x∈M，且$\frac{3}{4}$＜a≤1}，
設(shè)t=2^x，則當(dāng)x∈M時(shí)，t∈[$\frac{1}{4}$，1]；
P中函數(shù)為：y=t²-$\frac{1}{2}$a•t+1=（t-$\frac{1}{4}$a）²+1-$\frac{1}{16}$a²；
其對(duì)稱軸為t=$\frac{1}{4}$a∈（$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{4}$]；
在t∈[$\frac{1}{4}$，1]內(nèi)，y是單調(diào)增函數(shù)，
且y_min=y（$\frac{1}{4}$）=$\frac{17}{16}$-$\frac{1}{8}$a，
y_max=y（1）=2-$\frac{1}{2}$a，
所以y的取值范圍是：[$\frac{17}{16}$-$\frac{1}{8}$a，2-$\frac{1}{2}$a]，
即P=[$\frac{17}{16}$-$\frac{a}{8}$，2-$\frac{a}{2}$]；
又$\frac{3}{4}$＜a≤1，
所以$\frac{15}{16}$≤$\frac{17}{16}$-$\frac{1}{8}$a＜$\frac{31}{32}$，
$\frac{3}{2}$≤2-$\frac{1}{2}$a＜$\frac{13}{8}$，
因此P∩M=∅；
所以∁_U（M∪P）={x|x＜-2，或0＜x＜$\frac{17}{16}$-$\frac{1}{8}$a，或x＞2-$\frac{1}{2}$a}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，考查了轉(zhuǎn)化思想以及換元法的應(yīng)用問題，是綜合性題目．