Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為

64π

3

立方米．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為4千元．設(shè)該容器的總建造費用為y千元．
（Ⅰ）將y表示成r的函數(shù)f（r），并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（r）的單調(diào)性，并確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用．
（參考公式：球的表面積公式S=4πr²，球的體積公式V=

4

3

πr³，圓柱體的側(cè)面積公式S=2πrl，圓柱體的體積公式V=πr²l）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,球的體積和表面積

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)圓柱和球的體積公式即可建立函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可求出最優(yōu)解．

解答： 解：（Ⅰ）因為容器的體積為

64π

3

立方米，所以

4πr3

3

+πr2l=

64

3

π，解得l=

64

3r2

-

4

3

r
所以圓柱的側(cè)面積為2πrl=2πr(

64

3r2

-

4

3

r)=

128π

3r

-

8πr2

3

，
兩端兩個半球的表面積之和為4πr²
所以y=(

128π

3r

-

8πr2

3

)×3+4πr2×4=

128π

r

+8πr2
又l=

64

3r2

-

4

3

r＞0⇒r＜2

4

3

，所以定義域為(0，2

4

3

)
（Ⅱ）因為y′=-

128π

r2

+16πr=

16π(r3-8)

r2

所以令y′＞0，得2＜r＜2

4

3

；令y′＜0，得0＜r＜2
所以當(dāng)r=2時，該容器的建造費用最小為96π千元，此時：l=

8

3

點評：本題是應(yīng)用題，解決本題的關(guān)鍵是在理解意的基礎(chǔ)上構(gòu)建函數(shù)模型，在求函數(shù)最值時要注意函數(shù)的定義域；利用導(dǎo)數(shù)求最值是解決本題的關(guān)鍵．