Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)是PC的中點．
（Ⅰ）求證：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）求證：BF∥面PDE．
（Ⅲ）當(dāng)PA=AB時，
①求直線PC與平面ABCD所成角的大�。�
②求二面角P-DE-A所成角的正弦值的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（I）證明DE⊥AB，PA⊥DE，利用線面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB，從而可證面PDE⊥面PAB．
（Ⅱ）證明FG與BE平行且相等，可得BF∥GE，利用線面平行的判定可得BF∥面PDE．
（Ⅲ）①設(shè)AB=2，由已知條件推導(dǎo)出∠ACP是直線PC與平面ABCD所成的角，分別求出AC和AP，利用正切函數(shù)能求出直線PC與平面ABCD所成角的大�。�
②以A為原點，AD為x軸，平面ABCD內(nèi)過A垂直AD的直線為y軸，AO為z軸，建立空間直線坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-DE-A所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，
∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，
∴DE⊥AB，PA⊥DE，
∵AB∩PA=A，∴DE⊥平面PAB，
∵DE?平面PDE，∴面PDE⊥面PAB．
（Ⅱ）證明：取PD的中點G，連結(jié)FG，GE，
∵F，G是中點，∴FG∥CD，且FG=

1

2

CD，
∴FG與BE平行且相等，∴BF∥GE，
∵GE?面PDE，BF不包含于平面PDE，
∴BF∥面PDE．
（Ⅲ）①設(shè)AB=2，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，
PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)是PC的中點，PA=AB，
∴∠ACP是直線PC與平面ABCD所成的角，
∴AC=

4+4-2×2×2×cos120°

=2

3

，AP=2，
∴tan∠ACP=

2

2 3

=

3

3

，∴∠ACP=30°，
∴直線PC與平面ABCD所成角為30°．
②以A為原點，AD為x軸，平面ABCD內(nèi)過A垂直AD的直線為y軸，
AO為z軸，建立空間直線坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，
由題意知P（0，0，2），D（2，0，0），E（

1

2

，

3

2

，0），
A（0，0，0），∴

PD

=（2，0，-2），

PE

=（

1

2

，

3

2

，-2），

AP

=（0，0，2），
設(shè)平面PDE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PD =2x-2z=0 n • PE = 1 2 x+ 3 2 y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

，1），
∵AP⊥平面ABCD，∴

AP

=（0，0，2）是平面ADE的一個法向量，
設(shè)二面角P-DE-A所成角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

AP

＞|=|

2

2× 5

|=

1

5

，
∴sinθ=

1-( 1 5 )2

=

2 5

5

．
∴二面角P-DE-A所成的角的正弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成的角的求法，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．