Question

【題目】圓周上分布著2002 個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)將它們?nèi)我獾厝境砂咨�或黑色，如果從某一點(diǎn)開(kāi)始，依任一方向繞圓周運(yùn)動(dòng)到任一點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的（包括該點(diǎn)本身）白點(diǎn)總數(shù)恒大于黑點(diǎn)總數(shù)，則稱(chēng)該點(diǎn)為好點(diǎn).為確保圓周上至少有一個(gè)好點(diǎn)，試求所染黑點(diǎn)數(shù)目的最大值.

Answer 1

【答案】667

【解析】

由題意知，好點(diǎn)必為白色.以下討論一般情形：即圓周上有個(gè)點(diǎn)，把它們黑、白染色，僅當(dāng)黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，才能保證一定有好點(diǎn)存在.

對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，

1.當(dāng)時(shí)，圓周上共有4 個(gè)點(diǎn)，黑、白染色為一個(gè)黑點(diǎn)和三個(gè)白點(diǎn)，在三個(gè)相連的白點(diǎn)中取居中的一個(gè)白點(diǎn)，易知它為好點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)結(jié)論正確.

2. 設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立.那么，當(dāng)時(shí)，在個(gè)黑點(diǎn)中任取一個(gè)黑點(diǎn)記為，在的兩旁分別取與相距最近的白點(diǎn)記為、，把這三點(diǎn)從這圓周上暫時(shí)拿掉，則在圓周上只剩下個(gè)點(diǎn)，其中有個(gè)黑點(diǎn).由歸納假設(shè)，在此個(gè)點(diǎn)中必有一個(gè)好點(diǎn)，記為（白點(diǎn)）.然后再把三點(diǎn)放回到圓周上得到個(gè)點(diǎn).

現(xiàn)證明仍為好點(diǎn).

事實(shí)上，由于為白點(diǎn)，則點(diǎn)必在弧外，因而從點(diǎn)沿圓周上的點(diǎn)到達(dá)（或）內(nèi)的點(diǎn)時(shí)（不含點(diǎn)），白點(diǎn)總數(shù)與黑點(diǎn)總數(shù)之差比原差還要大1，從而到達(dá)點(diǎn)時(shí)，白點(diǎn)總數(shù)與黑點(diǎn)總數(shù)之差必大于0，即說(shuō)明仍為好點(diǎn)，故時(shí)， 結(jié)論成立.

另一方面，當(dāng)黑點(diǎn)的總數(shù)為時(shí)，確有一種黑、白染色使得好點(diǎn)不存在：因個(gè)黑點(diǎn)將圓周分為個(gè)小弧段，再將剩下的個(gè)白點(diǎn)放入個(gè)小弧段中去，使得每個(gè)孤段上不多于2 個(gè)白點(diǎn)，這總是可以做到的，此種染法就不存在好點(diǎn).

，

∴為確保好點(diǎn)存在，所染黑點(diǎn)的總數(shù)≤667.

綜上所述，所染黑點(diǎn)數(shù)目的最大值為667.