【題目】圓周上分布著2002 個點,現(xiàn)將它們?nèi)我獾厝境砂咨蚝谏绻麖哪骋稽c開始,依任一方向繞圓周運動到任一點,所經(jīng)過的(包括該點本身)白點總數(shù)恒大于黑點總數(shù),則稱該點為好點.為確保圓周上至少有一個好點,試求所染黑點數(shù)目的最大值.
【答案】667
【解析】
由題意知,好點必為白色.以下討論一般情形:即圓周上有個點,把它們黑、白染色,僅當黑點的個數(shù)時,才能保證一定有好點存在.
對用數(shù)學歸納法進行證明,
1.當時,圓周上共有4 個點,黑、白染色為一個黑點和三個白點,在三個相連的白點中取居中的一個白點,易知它為好點,故當時結論正確.
2. 設當時命題成立.那么,當時,在個黑點中任取一個黑點記為,在的兩旁分別取與相距最近的白點記為、,把這三點從這圓周上暫時拿掉,則在圓周上只剩下個點,其中有個黑點.由歸納假設,在此個點中必有一個好點,記為(白點).然后再把三點放回到圓周上得到個點.
現(xiàn)證明仍為好點.
事實上,由于為白點,則點必在弧外,因而從點沿圓周上的點到達(或)內(nèi)的點時(不含點),白點總數(shù)與黑點總數(shù)之差比原差還要大1,從而到達點時,白點總數(shù)與黑點總數(shù)之差必大于0,即說明仍為好點,故時, 結論成立.
另一方面,當黑點的總數(shù)為時,確有一種黑、白染色使得好點不存在:因個黑點將圓周分為個小弧段,再將剩下的個白點放入個小弧段中去,使得每個孤段上不多于2 個白點,這總是可以做到的,此種染法就不存在好點.
,
∴為確保好點存在,所染黑點的總數(shù)≤667.
綜上所述,所染黑點數(shù)目的最大值為667.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線上的、兩點滿足,點、在拋物線對稱軸的左右兩側,且的橫坐標小于零,拋物線頂點為,焦點為.
(1)當點的橫坐標為2,求點的坐標;
(2)拋物線上是否存在點,使得(),若請說明理由;
(3)設焦點關于直線的對稱點是,求當四邊形面積最小值時點的坐標.
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【題目】某小組6個人排隊照相留念.
(1)若分成一排照相,有多少種不同的排法?
(2)若排成一排照相,甲、乙兩人必須在一起,有多少種不同的排法?
(3)若排成一排照相,其中甲必在乙的右邊,有多少種不同的排法?
(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相鄰有多少種排法?
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【題目】某商場為了了解某日旅游鞋的銷售情況,抽取了部分顧客所購鞋的尺寸,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖如圖所示.已知從左到右前3個小組的頻率之比為1∶2∶3,第4小組與第5小組的頻率分布如圖所示,第2小組的頻數(shù)為10,則第4小組顧客的人數(shù)是______.
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【題目】在正方體中,下列幾種說法不正確的是
A. B. B1C與BD所成的角為60°
C. 二面角的平面角為 D. 與平面ABCD所成的角為
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【題目】(2017·全國卷Ⅲ文,18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.
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【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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【題目】把個相同的小球放到三個編號為的盒子中,且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù),則共有多少種放法( )
A. B. C. D.
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【題目】若函數(shù)在其定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在實數(shù).滿足,則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,是它的一個均值點.
(1)判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,并說明理由
(2)若函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
(3)設函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,1是函數(shù)的一個均值點,求所有滿足條件實數(shù)對.
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