Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1），a₁=1且對(duì)于任意n≥2，n∈N₊有a_n=2a_n-1+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）cn=an•bn=n(2n-1)=n•2n-n，由此利用分組求和法和錯(cuò)位相減求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an+1=2n，∴an=2n-1．…（4分）
（2）∵b_n=log₂（a_n+1），∴b_n=n，
cn=an•bn=n(2n-1)=n•2n-n…（5分）
使用分組求和：T'=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T'=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減：-T'=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹
∴T'=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（10分）
T″=1+2+3+…+n=

(1+n)n

2

…（11分）
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=T=T′-T″=2+(n-1)•2n+1-

n(1+n)

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和泊和錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．