Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N₊有S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式a_2n-k•a_n+64≥0對(duì)任意n∈N₊恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將n用n-1代替得S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減得，a_n=2a_n-2a_n-1即2a_n-1=a_n，n≥2，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；
（2）將（1）中的通項(xiàng)代入不等式a_2n-k•a_n+64≥0得到不等式2n+

64

2n

≥k恒成立，只需(2n+

64

2n

)min≥k，利用基本不等式求出最小值得到k的范圍．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得，a_n=2a_n-2a_n-1
即2a_n-1=a_n，n≥2，
所以{a_n}為等比數(shù)列，a₁=2a₁-2⇒a₁=2，
所以an=2n；…（5分）
（2）a2n-k•an+64≥0⇒22n-k•2n+64≥0⇒22n+64≥k•2n⇒2n+

64

2n

≥k
…（8分）
只需(2n+

64

2n

)min≥k，
∵2n+

64

2n

≥2

2n• 64 2n

=16，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)．…（11分）
所以16≥k．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法；不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值．